《走在课改大道上》书稿

田奇述著

第三章   数学文化理念感与悟

【导读】数学不仅是研究现实世界的数量关系和空间形式的科学，独特符号系统和逻辑结构也是数学语言，还是一种文化，数学的发展不仅是科学的基石，也是文化的重要组成部分。

第一节  解读“数学文化”

《标准》）指出：“数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。”对此，作为数学教师应该怎样去理解感悟呢？我认为应该从以下5方面去解读：

1、数学是历史发展的文化。追溯数学的起源，研究数学的发展,我们可以看出：从远古人类的结绳计数，到数码符号的出现；从数字的应用，到数量符号、运算符号的产生；从各种数量关系的研究，到数学语言（文字语言、符号语言、图式语言）的诞生；从解决问题的不同策略，到数学思想和方法的确立……数学发展的痕迹清晰的表明：数学是历史发展的文化。数学是历史发展的文化，那么，作为课程内容的数学就要作为一项人类活动来对待。因此，数学教学：一要向学生介绍数学背景的辅助材料。如，教学“24时记时法”，介绍了记时方法的发展：在古代，原始人白天到外面去打猎，晚上回到居住的山洞里休息。他们计算时间，只知道“日”和“夜”。后来，人们利用太阳影子的方法来确定时间，也利用滴水或漏沙的方法来计算时间。再后来，人们发明了钟表，记时就越来越准确了。考虑到学生年龄小，还可以把枯燥的数学史料，通过连环画的形式呈现。二要充分考虑数学发展进程中人类的活动轨迹，通过提供足够的资源、空间和时间，使学生有重复人类数学发现活动过程的机会。如“认识厘米”的教学。为什么要统一“单位”这一问题，从中国秦始皇统一度量衡到全世界统一度量衡，漫长的历史哪能重复？！但是教师可以创设这样的情景：让学生选择自己喜欢的（如笔盒、小刀、课本）作为测量工具，量一量桌子的长度。讨论：测量后汇报结果为什么都不一样？从而使学生感悟到统一测量单位的必要性。通过这样简约的类似“历史”的问题情景，让学生经历“为什么要统一度量衡”的“历史”过程，这样让学生在问题解决的过程中重新探索数学发展的轨迹，再次演绎人类思维的历程，深化学习。

2、数学是社会生活的文化。数学来源于社会生活与生产实际，是从人们生活、生产过程的经验中抽象概括出来的一门关于空间形式和数量关系的学科。数学与人们的生活息息相关，教学时我们要加强数学与现实生活的联系，打破人为设置学科间的壁垒，软化学科界限，改变传统学科课程之间过分强调学科本位，互相割裂的弊端，密切教科书与学生生活以及社会、科技发展的联系，打破单纯地强调学科自身的系统性、逻辑性的局限，尽可能体现义务教育阶段各学科课程应首先服务于学生发展的功能，为学生学习数学创设广阔的背景。如教学“求平均数”，联系演唱比赛的评分方法；教学“年、月、日”，介绍有关四季的知识；教学“轴对称图形”，认识民间“剪纸”。这些活生生的事例，使学生认识到社会现实生活中蕴含着大量的数学信息，感受数学在社会现实生活中的广泛应用，体会到数学无处不在。数学的社会生活文化，蕴涵着丰富的自然、社会、历史、人文等的内涵，是取之不尽的教学源泉。

3、数学是进步的科学文化。随着科学技术的迅猛发展，人类的不断进步，数学也发生了巨大的变化。《标准》指出：“20世纪中叶以来，数学自身发生了巨大的变化，特别是与计算机的结合，使得数学在研究领域、研究方式和应用范围等方面得到了空前的拓展。”因此，数学已成为人类进步的标志，“先进文化”的代表。进步的科学总是不停地向前发展的，这就要求我们一方面要及时不断地吸纳新的数学研究成果充实教材；另一方面要吸纳新的重大事件作为教学案例的载体。如，教学“高矮”可以用“9．11事件”的纽约世贸大楼作为导入的载体。教学“认识时间”可以用“神舟5号”发射作为导入的载体。这样数学的学习才能永远保持新鲜和先进。

4、数学是有价值的文化。《标准》指出：“数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会创造价值”，“人人学有价值的数学”。这就要求作为教育内容的数学，应满足学生未来社会生活的需要，能适应学生个性发展的要求，并有益于启迪思维、开发智力。认识了数学文化的价值，学生就会增强学好数学的使命感，教师就会增强教好数学的责任感。

5、数学是国际化的文化。从某种意义上说，数学是不受地域、环球、人们的信仰等限制和影响的一种文化。任何学科都没有象阿拉伯数字、数学符号等那样能在国际大范围通用的。因此，我们的教学不能只把眼光盯在中国，而应该放眼世界。如，教学“24时记时法”，介绍世界（如纽约、东京、北京、莫斯科、伦敦）在同一时刻各地的时间各不相同。又如，教学“轴对称图形”介绍古今中外著名的对称建筑（如人民大会堂、故宫、中山陵、巴黎埃菲尔铁塔、印度泰姬陵、伦敦塔桥、黄鹤楼），感受它们的奇妙和美丽。

数学是一种文化，正确地把握数学文化的内涵，将有利于教师用好教材，从而有力地促进学生形成具有一般性的洞察力，发展生存能力和学会创造；同时，学生的学习生涯也将因为数学文化而丰富多彩！

注：原文《解读数学文化》，刊载于《云南教育》2005年第2期。

第二节  展现“数学文化”的魅力

《标准》），在开篇的“基本理念”部分，对数学学科性质作了这样定性：“数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。”并在“课程实施建议”中又作了详细的阐述，提出了具体要求。这就意味着数学教学过程，也是传播“数学文化”的过程。数学学科教学只有放在“数学文化”这样一个大背景中进行，才会焕发出旺盛的生命活力！因此，在数学教学中如何挖掘“数学文化”的底蕴，展现“数学文化”的魅力，成为数学教学新的任务和手段。那么，在数学教学中要展现哪些“数学文化”呢？

1、展现“数学文化”的悠久历史。数学是一门十分古老的科学，数学课本中有许多知识，都是古代数学经历了“大浪淘沙”后的“数学文化”的精华。在教学中如何展现这些“数学文化”之精华呢？《标准》在“课程目标”的阐述中，多次提到“经历……过程”这样的具体要求。现行教材枯燥、生硬的数学“经典”知识，疏远了生活实际。这就要求教师在教学中把教材的知识点，适当回归到厚实的“数学文化”背景中。如教学“圆周率”，引导学生用原始的“绳测法”、“滚动法”等的实验，得到圆周率的近似值；然后教师欣喜的赞叹道：“你们探求圆周率的过程跟我国古代伟大的数学家祖冲之有着惊人的相似！”充分肯定学生的才智和努力；接着让学生读一读课本中“你知道吗？”，这一介绍祖冲之圆周率发现过程的“小常识”，在展现“数学文化”的氛围中激发学生民族自豪感。小学数学教材共编入“你知道吗？”这样的“小常识”27则，这是展现悠久“数学文化”的富矿，可以加以利用。让现行教材中的知识回归为数学发展的原始问题，不是重复历史，而是教师通过驾驭教材，创造一种类似“历史”情景。如“面积和面积单位”教学。为什么要统一“面积单位”这一问题，从中国秦始皇统一度量衡到全世界统一度量衡，漫长的历史哪能重复？！但是教师可以创设这样的情景：（1）出示面积大小差距明显的2件实物（如书和笔盒），让学生比较其大小，学生用观察法就能作出判断。（2）出示面积大小差距不明显的2张纸片（如正方形和长方形），让学生比较其大小。当学生无法作出判断时，引导学生通过画方格，用数方格的办法来判断。（3）当学生得出：“方格多的那张纸片的面积大”时，教师巧妙地翻转2张纸片（教师事先在2张纸片的背面画好大小不一样的方格，其中面积小的纸片画的方格比面积大的纸片方格多些）问：“方格多的面积就一定大吗？”，学生顿悟：“用数方格比较两种图形面积的大小，方格还要画的一样大。”通过这样简约的类似“历史”的问题情景，让学生经历“为什么要统一度量衡”的“历史”过程，这样让学生在问题解决的过程中重新探索数学发展的轨迹，再次演绎人类思维的历程，深化学习。让学生在真切地品味“悠久历史”带给的自豪感中，感受“数学文化”的魅力！

2、展现“数学文化”的博大精深。宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日月之繁，无处不用数学。无论是远古的结绳记事，还是现代的计算机，都昭示了“现实世界是数学的丰富源泉”。数学的存在和应用的广泛性，就要加强数学与现实生活的联系，打破人为设置学科间的壁垒，软化学科界限。《标准》对此十分关注，在“内容标准”部分，改变传统学科课程之间过分强调学科本位，互相割裂的弊端。按学习领域或主题组织学习内容，密切了教科书与学生生活以及社会、科技发展的联系，打破单纯地强调学科自身的系统性、逻辑性的局限，尽可能体现义务教育阶段各学科课程应首先服务于学生发展的功能。因此，数学教学也要关注与其它学科的综合，展现数学文化的博大精深。如教学“百分率”的意义和求法后，让学生用简洁的百分数来表示含义丰富的成语，体会蕴含于数学中的丰富文化内涵：师——成语“十拿九稳”的意思谁能用百分率来表示？生——（稍一楞后领会）百分之九十。师——请同学们象老师和这位同学刚才这样找一找能用百分率表示的成语，说给大家听。生1——百发百中，百分之百命中率；生2——百里挑一，百分之一的可能被选中；生3——九死一生，死的可能性为百分之九十，活的可能性为百分之十；生4——大海捞针，几乎是百分之零的可能性……其实,学科之间本来是相通的。只有关注学科间的联系,才能为学生学习数学创设广阔的背景。如“循环小数”教学与各学科结合就可以创设多样的导入情景：（1）与《语文》结合——查字典法。让学生打开字典查找“循环”一词的意思，导入新课。（2）与《社会》结合——故事法。“山上有座庙，庙里有个老和尚，老和尚对小和尚说……”，用这个社会广泛流传的故事，导入新课。（3）与《自然》结合——录像法。让学生看一段春、夏、秋、冬四季更替的录像，让学生感知“循环”的含义，导入新课。我们要善于把生活中的问题提炼成数学问题，这样有利于培养学生乐于学习的情感，有利于学生从学科联系中吸收丰富的营养，有利于学生理解数学的丰富内涵，让学生真切的感受博大精深的“数学文化” 的魅力！

 3、展现“数学文化”的现代文明。数学是一门充满青春活力的科学，伴随着现代科学技术的飞速发展，数学正以前所未有的规模，向所有的科学领域大进军，新的数学分支如雨后春笋，新的数学发明似喷泉涌现。对此《标准》也注意到了，开篇就指出：“20世纪中叶以来，数学自身发生了巨大的变化，特别是与计算机的结合，使得数学在研究领域、研究方式和研究范围等方面得到了空前的拓展。”在教学中展现“数学文化”的现代文明，除了要及时不断地吸纳新的数学研究成果以补充教材编写滞后之不足外，还应培养学生下列意识：一是忧患意识。中国现代“数学文化”是百余年来通过激活传统文化以及在与西方文化的碰撞中，对西方文化的吸收、整合而成为最具活力的文化。《标准》要求：“在适当的地方插入介绍一些有关数学发现与数学史的知识”，教学中适当渗透中国古代数学的辉煌史、近代数学的落后史和现代数学的赶超史，以激活学生的忧患意识，不忘祖国“落后挨打”的百年屈辱史，焕发学生“为振兴中华而学习”的进取精神。二是开放意识。中国当代先进文化最显著的特点是从封闭走向开放，与世界多元文化进行交流。小学数学教材中渗透了集合、函数、统计等现代数学思想和方法。如一册“分类”一课，就通过直观形象的韦恩图渗透集合的概念。教师要让学生知道“韦恩图”这是“泊来品”，是对世界先进科学的吸纳，并且还要学生知道封闭只能阻碍科学发展，只有走向开放，才能使中国屹立于世界民族之林。三是环保意识。“人与自然的和谐发展”是中国传统文化的精华。它越来越被世界上有识之士所接受，融入全球性的环保意识。《标准》要求：“让学生从数学的角度去研究环保问题”。人教版九年义务教育小学教科书图文并茂，据统计80%以上的插图都蕴含着丰富的环保教育内容。如一册“准备课”第2页“优美的校园”，教师在引导学生练习数数的同时，教育学生爱护周围的一草一木，一山一水……；在应用题里对环保问题也有不少的反映。从居住环境到校园环境，从自然环境到人工环境，从水、大气、大地到动、植物，从资源、人口到地球、宇宙，人教版“九义”教材无所不有，并且随年级增高，教材中的环保教育内容也逐步抽象、充实。四是未来意识。学习数学，展望未来。我们的教学不能只把眼光盯在今天，盯在中国，而应该放眼明天，放眼世界。人类正进入科技信息时代，数学世界广阔无垠，从增加学生学好数学的使命感。

4、展现数学家的探索精神。“路漫漫其修远兮”，历史上许多数学发现，往往历经几十、几百甚至上千次的失败，有的是经历几代数学家前仆后继的研究才得以实现。数学家留给我们的不仅是数学中新发现的知识，同时也留给我们他们在研究过程中那种锲而不舍的探索精神。这种精神是“数学文化”的重要组成部分。对此《标准》提出：“录制数学家的生平或故事”，“呈现有关史迹的图片”，“邀请数学家讲课”等要求和方法。教学中教师还可以通过学科活动，让学生“与数学家对话”，“走近数学家”，“走进数学王国”。这些主题活动要让学生选择自己最喜欢的数学家，搜集其学术成就或趣闻轶事，在活动中交流。让学生更多地了解数学家的成长历程，并以此为板样；让学生感到数学家也并不是不可企及的，消除神秘感鼓起向数学家挑战的勇气。教学上展现数学家的探索精神，要注意以下几点：一是培养学生的创新意识。牛顿因“树上落下苹果”悟出“万有引力”，瓦特因“开水顶起壶盖”发明蒸汽机。他们能从这些司空见惯的自然现象中悟出新见解，是因为他们有强烈的创新意识。创新意识的核心是问题意识，“问题是接生婆，它能帮助新思想的诞生”。教学中要重视学“问”（即问题意识），还要与众不同地“问”（即创新意识）。二是磨炼学生的意志。学习是艰苦的劳动，任何人在学习上都会碰到困难。克服它，需要坚强的意志。在作业中搞“百题无错”或“一周无错”等内容统计，督促学生按具体要求，向确定目标奋进，可以锻炼学生的毅力和持久性；学习的道路是不平坦的，学习中的失败是常有的事。教师要鼓励学生在失败中寻找教训，重新树立学习信心，争取获得成功，在失败和困难中磨练吃苦意志。

5、展现“数学文化”的美学价值。大自然是美好的：璀璨的星空，奇异的山川，丰富的色彩，多姿的生活……这些美好事物的背后都深藏着许多数学奥妙，数学美无处不在。当今美国数学家克莱因对数学美作了这样地描述：“音乐能激发或抚慰人的情怀，绘画能使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学能使人获的智慧，科技可以改变物质生活，但是数学却能提供以上一切。”数学的简洁美、对称美、统一美和奇异美，在万物世界的各个方面都表现出来。《标准》在前言的“设计思路”一节要求“发展学生的数感、符号感”。在“课程实施建议”部分又指出：“使学生感受其中的数学思想和方法，领略数学命题和数学方法的美学价值。”教学中要展现“数学文化”的美学价值，就要培养学生欣赏数学美的能力，让学生感知数学符号的简洁美、数学公式的简洁美、数学解题的简洁美、数学逻辑上的简洁美，让学生感知几何图形的对称美、公式的对称美，让学生感知运算的统一美、数和形的统一美……总之，教师要千方百计展示数学美。如教学“比的意义”，可以出示长和宽分别为：16、3，9、10，5、8，21、34，13、8等五个长方形，让学生投票选出最美的长方形。在学生选出最美的长方形后，教师随即揭示“黄金分割”及其在美学中的意义。由此导入新课，不仅将这部分知识纳入文化范畴，而且充分挖掘了数学的美育功能，展现了“数学文化”的美学价值。

注：田奇述《展现数学文化魅力》原文，刊载于《教学月刊》2003年第1期

第三节  让数学课堂流淌着“文化味”

一堂有文化味的数学课，能提高课堂教学品味，带给学生的是学习兴趣，是智慧的启迪，既是对学生的人文关怀，又能达到以文“化”人的目的。所谓文化味，就是在数学课堂教学中不应只有抽象的数字、符号、运算和图形的数学知识传授，还应有使学生对数学的发生与发展过程有所了解，对数学在人类发展历史中的作用和价值有所体会。数学文化客观存在，但学生却视而不见，反观我们的数学课堂，缺失文化味是其重要的元素之一，数学那种作为文化特征的美好一面，在人们急功近利中消失殆尽。数学课堂要有文化味，已成为数学教师追求。理解感悟数学文化内涵，让数学课堂流淌着“文化味”要从以下5方面入手：

一、让“史料”彰显文化味

说起数学文化，自然想到数学史。从远古人类的结绳计数，到数码符号的出现；从数字的应用，到数量符号、运算符号的产生；从各种数量关系的研究，到数学语言（文字语言、符号语言、图式语言）的诞生；从解决问题的不同策略，到数学思想和方法的确立……数学发展的痕迹清晰的表明：数学是历史发展的文化。“数史”是数学文化教育独特亮点。现行教材已经包含了一些“史料”辅助性教学材料，在教学中教师可以把这些“史料”有机的运用起来，让学生感受丰富的文化内涵给人类所作出的贡献，让学生对数学家的聪明智慧与非凡成就产生敬佩之情，让学生汲取数学的理性精神，增强学好数学的信心与动力。如，在《生活中的负数》教学中，插入这样一段“数史”：在我国古代《九章算术》就引入了负数，当时是用算筹来进行计算的，在算筹中规定红筹为正，黑筹为负。而在国外，负数出现得很晚，直到17世纪，笛卡儿创立了坐标系，负数获得了几何解释和实际意义，逐渐得到了公认。这样小史料的运用，花时不多，但对学生的感召力影响深远，也许学生终生都会从这样的数学文化中受益。

二、用“整合”体现文化味

数学教育不仅是知识的传授、能力的培养，更是一种文化熏陶、素质的培养，实现数学的科学价值与人文价值的有效整合。这就要求教师应有突出文化特征的数学教学观。古典诗词是我国文学史上璀璨夺目的明珠，千百年来一直为人们传诵不衰。许多古典诗词蕴含着丰富的数学知识，意味隽永，清新自然，寓意深刻。如果在数学教学中紧扣教学内容，恰当地引用古典诗词，挖掘其中的数学知识，可使学生头脑中的原有表象进行重新加工组合，使学生如临其境、如闻其声、如见其物，在情景交融的艺术氛围中学习数学，收到“数学文化”之效。例如，导入新课巧用古诗：《观察物体》一课，用“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”引入，看山如此，看物体亦如此，引导学生从不同方向观察物体。练习时巧用古诗：教学“一个数是另一个数的几分之几”一课练习时，教师出示古诗“春水春满池，春时春草生；春人饮春酒，春鸟弄春色。”学生在美读这首诗的同时发问“老师这里没有数学问题？”教师不慌不忙地添加了问题“春字出现的次数占全诗总字数的几分之几？”，评价时巧用古诗：当学生冥思苦想一个问题而豁然开然时，用“众里寻它千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”，来评价学生的成功喜悦。学生感觉“数学就是诗歌”，使数学课堂流淌着“文化味”。

三、凭“思想”诠释文化味

数学文化不是简单的“数学+数史”和“数学+文学”，数学文化最内在的特征是数学本身。这就是《课标》指出的“数学内容、数学思想、数学方法和数学语言”是人类的一种文化。数学思想方法是数学教学的隐性知识系统，数学思想方法的教学必须通过具体的教学过程加以实现，因此，教师必须把握好教学过程中进行数学思想方法教学的契机，在概念形成的过程，结论推导的过程，方法思考的过程，思路探索的过程，规律揭示的过程等，有机的把对应思想方法、假设思想方法、比较思想方法、符号化思想方法、类比思想方法、转化思想方法、分类思想方法、集合思想方法、数形结合思想方法、统计思想方法、极限思想方法、代换思想方法、可逆思想方法、化归思维方法、数学模型思想方法、整体思想方法等渗透其中，达到“渗透思想，传播文化”目的。

四、借“生活”浓厚文化味

著名数学家华罗庚认为：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日月之繁，无处不用数学。” 数学来源于社会生活与生产实际，是从人们生活、生产过程的经验中抽象概括出来的一门关于空间形式和数量关系的学科。数学与人们的生活息息相关，教师要加强数学与现实生活的联系，密切教科书与学生生活以及社会、科技发展的联系，打破单纯地强调学科自身的系统性、逻辑性的局限，尽可能体现义务教育阶段各学科课程应首先服务于学生发展的功能。如，《确定位置》教学，让学生描述班级同学的具体位置，通过第几组，第几个的生活语言描述，再抽象出用“数对”的数学语言描述，提炼出数学模型。这些活生生的事例，使学生认识到社会现实生活中蕴含着大量的数学信息，感受数学在社会现实生活中的广泛应用，体会到数学无处不在。社会蕴涵着丰富的自然、社会、历史、人文等的内涵，是数学文化的源泉。

五、以“美学”展示文化味

我国数学家徐利治先生指出：“数学是人类文明的结晶，数学的结构、图形、布局和形式，无不体现出数学中美的因素”，完善的数学教育需要介绍数学美。教材中到处可以挖掘出数学美，这为数学的美育功能提供了很好的素材。简洁美无处不在，图案设计、经典建筑等都要求简洁，数学更是以简洁著称。用字母表示数，这是算术到代数的飞跃，无论从结构还是形式，都给人“式简意明”享受。数学中对称是一种美，几何图形中的点对称、线对称、面对称，构成了美丽的图案，带给我们丰富的自然之美，多彩的生活之美。严谨性是数学的独特之美，数学概念、定理、公式等，内容简洁、严密，形式整齐，“增一字嫌多余，减一字感不足”，这正是数学严谨美的价值所在。奇异美是数学另一种表现形式，爱美是人的天性，教师应抓住各种机会向学生揭示数学美，欣赏数学美，应用数学美，创造数学美，把美育有机融入数学教学中，让学生从数学学习中体会到奇特新颖的美感，享受美，从而使运用数学美启迪灵感成为学生的一种思考习惯，提高数学学习的兴趣，优化思维品质，提高发现美、鉴赏美的能力，使课堂成为宣传美、传播美的途径，从而实现数学文化价值的教育目的。

总之，数学是一种文化，正确地把握数学文化的内涵，将有利于教师用好教材，从而有力地促进学生形成具有一般性的洞察力，发展生存能力和学会创造；同时，学生的学习生涯也将因为数学文化而丰富多彩！

总之，一堂有文化味的数学课，能提高课堂教学品味，带给学生的是学习兴趣，是智慧的启迪，让“史料”、 用“整合”、凭“思想”、借“生活”、以“美学”等方式彰显文化味，既是对学生的人文关怀，又能达到以文“化”人的目的。

供稿：田奇述