《走在课改大道上》书稿

田奇述著

第二章  课程改革理念感与悟

【导读】理念不仅是对实物的简单看法，更是经过理性加工和提炼后，形成对事物本质、规律及发展方向的深刻认识，走在课改大道上，必须对课程改革理念，有深刻的感悟。

第一节  发展学生“数学语言”交流能力的思考

数学是一种语言，它包括文字语言、符号语言和图型语言。数学作为人类现代文化的重要组成部分，数学语言也日益成为人们交流的科学语言。因此，发展学生的数学语言已成为国际数学教育共同关注的话题。

[思考1]发展学生数学语言有什么意义

数学同其他学科一样，有它自身的语言系统。数学语言以文字、符号、数字、图形等为“词”，以这些“词”之间的逻辑联系和表述规则为“语法”。学生在学习数学过程中，要准确交流数学思想，正确表达数学观点，就必须具备较强的数学语言表达能力。上个世纪90年代，美国有位学者用测试的方法，对中美小学数学教育的差异进行比较研究，其中有这样一道测试题：

同一种蛋糕， 7个女孩平分2个蛋糕，3个男孩平分1个蛋糕。每个女孩分得多还是每个男孩分得多？（每种方法可以用文字、数字、符号或图形来解释）。

上述案例就是要求学生用“数学语言”来表达。测试结果，我国被试学生中有90%用比较分数

     [思考2]发展学生数学语言有什么教育价值

《数学课程标准》（以下简称《标准》）从知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度等四方面提出课程目标，发展学生数学语言有利于教育目标的实现：

1、有利于“知识与技能”目标的实现。教学实践表明，“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”等的基础知识和基本技能的理解掌握，是学生以某种形式（直观的和非直观的、口头的或书面的）运用生活语言或数学语言传递自己的思想和对知识的表述及应用。简而言之，检验数学基础知识和基本技能的掌握程度，就是看学生对三种数学语言能否畅通的互译。

2、有利于“数学思考”目标的实现。语言是思维的载体，数学语言是数学思考的载体。《标准》把“数学思考”归纳为4个思维能力领域的发展，即“发展抽象思维，发展形象思维，发展统计观念，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力”。在培养推理能力上，特别强调“在与他人交流过程中，能运用数学语言合乎逻辑地进行讨论与质疑”。可见，“数学思考”目标的内涵是指学生在与数学相关的一般思维水平方面的发展。数学语言承载着“数学思考”，从而促进了这一目标的实现。

3、有利于“解决问题”目标的实现。学生掌握了数学“知识与技能”、学会了“数学思考”，自然也有利于“从数学的角度提出问题、理解问题和解决问题”从而实现“解决问题”这一目标。

4、有利于“情感与态度”目标的实现。语言是交际工具，数学语言也同样具备语言这种交际功能。学生用数学语言进行数学交流，可以充分表达自己思想、认识、情感与态度。

[思考3]发展学生数学语言有哪些训练途径

1、加强数学语言交流活动训练

数学语言是数学交流的载体，听、说、读、写是数学语言交流的使用过程。《标准》要求：“能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；能选择适当的程序和方法解决用符号所表达的问题。”“能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考”。要实现《标准》的这些要求，教学时就要为学生提供更多的说数学、听数学、读数学、写数学的机会：

①说数学。在一个激励智力探究的课堂氛围中，鼓励学生使用数学语言进行提问、反驳、论证等多种活动，清楚地向同学、教师表达自己的数学想法。这种数学想法包括学生解决问题的办法和步骤，也包括学生解释思考问题的过程以及克服思维阻碍的策略和有待于明晰的疑点。

②听数学。要求学生学会用批判的眼光听取同学的发言。通过思考他人的想法和策略扩展自己的知识，不断反思、修正思维策略，达到对知识的深层次的理解。

③读数学。通过阅读数学课本，有利于规范学生的数学语言表达，从而建立起良好的数学语言体系。

④写数学。在数学学习过程中，要求学生把自己学习数学的心得体会、反思和研究结果用文字的形式表达出来，以提高学生数学语言的表达与应用的能力。

2、重视数学语言之间的转换训练

《标准》要求：“会进行符号间的转换”，“能进行几何体与三视图、展开图之间的转化”，“能描述实物或几何图形的运动和变化”。由于数学概念、法则与定理、公式等往往是只用一种数学语言表述的，而学生要真正理解、掌握和运用它们，则必须能灵活运用三种数学语言进行转换或转化等互译训练：

①数学语言与普通语言转换。普通语言即以普通话为标准的生活语言，它是学生熟悉的。用它表述事物，学生感到亲切、容易理解。因此，其他语言的学习都必须以普通语言为解释系统，数学语言也是如此。通过两种语言的转换，可以使抽象的数学语言在现实生活中找到“原型”，从而能透彻理解，运用自如。

②符号语言与文字语言互译。数学课本有许多是用普通语言或文字语言来描述生活事件的，数学学习就是把它用符号语言表达出来或借助符号语言来思考。这是解决数学问题的一种有效手段。

③文字语言与图型语言转换。数学是研究数量关系及空间形式的科学，而图型语言是数学思想和方法得以实现的载体。因此，教学中往往要把文字语言与图型语言转换，从表格、图形等所表示的变量之间的关系中获取所需信息。

④图型语言与符号语言转换。图型语言是一种视觉语言，其特点是直观，便于观察与联想，在图型语言与符号语言的互译过程种，教师必须引导学生根据图型、图式提供的语言进行加工、联想、转化，并用与之相关的知识解释为符号语言,这是破译图型语言关系的基本思想。         

总之，教师要充分认识到发展学生数学语言的价值，在教学中重视自然语言的数学化，数学语言的符号化和图式化，加强各种语言的相互沟通、转换训练，从而发展学生的数学思维能力。

注：田奇述《发展学生“数学语言”交流能力的思考》原文，刊载于《小学教学研究》2005年第12期

第二节   有“数学味儿”的理性思考

随着课改的深入，人们对数学教学要有“数学味儿”的认识日趋一致，然而“数学味儿”是一种比较口语化的表述，其内涵尚未有明晰的界定。那么，我们应该从哪些方面去把握和调整教学行为，使教师在数学教学中关注“生活味儿”的同时凸显“数学味儿”呢？我认为：

首先，有“数学味儿”的数学课，必须凸显数学知识与技能训练

凸显“双基” 即数学基础知识与基本技能，是我国课堂教学高效率的优秀传统。然而，课改以来由于认识上的偏差，基础知识与基本技能目标设置不明，导致实施过程中课前预设的教学目标或被冲淡、或被虚化、或遭失落，数学课堂教学“像雾像雨又像风”，看不出是什么课，失去了数学味。在落实“双基”目标中，有两种认识偏差需要纠正：一是回避训练。象新知教学前的基本铺垫训练、新知教学后的基本巩固训练以及课后适当的作业等都是“双基”训练的有效途径，但有些老师对“训练”讳莫如深，似乎一提训练就有违背新课程之嫌，这完全是一种误解。二是讳“讲”如深。不少老师认为讲是素质教育的天敌，教师的讲越少越好，不讲更好，其实课改不拒绝有意义的接受学习。在课改新形势下，小学数学教学不仅要很好地继承和发扬“双基”，使数学课展现出浓浓的数学味，而且还要与时俱近的去理解“双基”的数学味。如，教学“正、反比例”片段：

师：今天听课的老师这么多，如果不在阶梯教室，去我们教室上课坐的下吗？为什么？

生：坐不下，因为我们教室太小。

师：这说明容纳人数与场地的大小有关系。与你们的年龄有关系吗？

生：与年龄没关系，但胖瘦有关系。

师：看来，两种相关联的量，有的有关系，有的没关系。如果两种量有关系。那么到底有什么特征呢？现在我们就来研究这个问题。

这个看似无意的有关生活对话的教学片段，其实巧妙地提出了“相关联的量”数学概念，应该看着是有“数学味”的“双基”知识。

其次，有“数学味儿”的数学课，必须让学生学会数学思考

《数学课程标准》（以下简称《标准》）指出：“数学在提高人的推理能力、抽象能力、想象能力和创造力等方面有着独特作用”，因而，数学课不仅仅是数学知识与技能的教学，更是心智的训练。数学是“思维王国”，在数学领域，其他任何方式的思考，都代替不了用数学思维方式的思考，这是数学学习与其他学科学习的本质区别。《标准》在“总体目标”中把“数学思考”的内容归结为“4个发展”，即发展抽象思维、发展形象思维、发展统计观念、发展合情推理能力和初步的演绎推理能力。可见，凸显思维训练，学会数学思考是数学课有“数学味儿”的另一特征。

第三，有“数学味儿”的数学课，必须突出解决问题能力的提高

解决问题的能力被认为是数学能力的综合体现，虽然现行的实验教材取代了传统教材中的应用题内容，但又处处体现数学来源于生活，又用于生活的理念。不仅是“数与代数”内容，实现了解决问题与认数、计算教学过程的相统一；而且“空间与图形”和“统计与概率”内容，也是解决问题与相关知识教学相结合。可以说，凸显数学的应用也是数学教学有数学味儿重要表现。

第四，有“数学味儿”的数学课，必须重视教学过程数学化的提炼

数学学习不能始终在生活经验上徘徊，而应该是不断地从生活中提炼数学信息、发现数学问题、揭示数学规律、优化或重组认知结构的过程，即数学化的过程。一堂数学课是否体现数学味，教学过程的数学化提炼不可忽视。如，教学“找规律”

第五，有“数学味儿”的数学课，必须渗透数学思想方法

数学教学是否体现数学味，在更大程度上还应看是否重视数学思想方法的渗透。由于小学生认知能力和小学数学教学内容的限制，只能将部分重要的数学思想方法落实到数学教学过程中，而对有些数学思想方法不宜要求过高。我认为，在小学数学教学中应予以重视的数学思想方法有：化归思想方法、符号思想方法、类比思想方法、分类思想方法、建模思想方法、数形结合思想方法。因为这些数学思想方法几乎包摄了全部小学数学内容，且易于理解和掌握，又能为进一步学习数学打下基础。

第六，有“数学味儿”的数学课，必须发展数学语言交流能力

数学同其他学科一样，有它自身的语言系统，这就是数学语言。对数学语言的掌握情况和应用能力，反映了学生对数学学科的认识和理解程度，是数学课凸显“数学味儿”的重要方面。

第七，有“数学味儿”的数学课，不应忽视人文情感关怀

数学不是无情物。数学的学习过程总是伴随着学生的情感体验，包括学习兴趣、学习热情、学习动机、学习态度、学习责任、以及审美情趣等。积极的情感具体表现为乐于探索、勇于创新、敢于质疑、独立思考、乐于合作、积极交流、尊重他人、自尊自重等健康学习方式与思维习惯。情感是人类最美的内心体验，教师要有机地渗透到教学内容中去，贯穿于教学过程中，使其成为数学教学内容的血肉、教学过程的灵魂。

总之，小学数学教学要有“数学味儿”是对数学教学的科学思考和理性认识，关注“数学味儿”既是对数学传统教学的继承，又是对数学教学注入生活味儿认识的提升。可以说，失却生活味儿的数学课将是僵化的说教；而忽视数学味儿的数学课如同石板栽花，终将枯萎。

注：田奇述《有数学味的理性思考》原文，刊载于《湖南教育》2006年第1期。

第三节  探究性学习有效性的思考

小学数学探究性学习，是指学生在教师的指导下，用类似科学研究的方式，经历数学知识的探索发现过程，从中获得知识，完成数学认知建构，并应用知识解决问题的学习方式。当前数学课堂许多探究性学习，存在流于形式，缺乏有效性，其症结在于探究性学习从形式到内容都未能适应小学生“小”的特点。

思考一：为什么小学数学探究性学习宜姓“小”

为什么小学数学探究性学习宜姓“小”呢？这是由于我们的教育对象是6-12岁的学生决定的，常言道“学生是学习的主人”，对于小学来说，这个“主人”是稚气十足的儿童。儿童他们有自己认识世界的方式。美国有一个童话叫《鱼就是鱼》，说的是一条鱼想了解水面上的事情，但鱼只能在水中呼吸，无法上岸。于是鱼想方设法和蝌蚪交上朋友，蝌蚪长大后成了青蛙，上了岸。几星期后，青蛙回到池塘，描述了它所看到的动物——小鸟、母牛、人等。听着青蛙的描述，鱼就把人想象成用尾鳍走路的鱼，把小鸟想象成带翅膀的鱼，把母牛想象成长乳房的鱼。这个童话给我们的启示是：儿童就是儿童，他们是从自己的知识经验出发，渐渐地认识世界的。让小学数学探究学习姓“小”，就是尊重儿童的认识规律，不应该把儿童的认识拔高到成年人的水平。纵观小学数学课堂探究学习“成人化”的现象比比皆是，如成人化的生活情境，成人化的学习活动，成人化的课堂语言等，课堂成人化的入侵，是“主体”缺失的表现，是造成学生厌学的根本原因，是课堂教学低效的重要因素。因此，有必要提倡小学数学探究学习姓“小”。

思考二：如何让小学数学探究性学习姓“小”

小学数学探究学习姓“小”，就是要根据儿童的年龄特点和知识经验，把握好探究学习的“度”，用儿童能接受的方式引导他们探究数学知识，而不是将成年人视角强加给儿童。具体的做法是：

1、目标“小”，指向导航明确

一节课内容哪些知识值得探究？有几个探究点？哪个点作为探究的重点？教师要用心思考，认真钻研教材，分析学情制定恰当的探究目标。例如，“平移与旋转”教学目标：

（1）感知“平移与旋转”的图形运动特征，并能正确分辨两种运动方式。

（2）能够数出图形平移的距离。

这样目标“小”，指向导航明确，有利于学生集中有效时间，探究平移与旋转的本质问题。实践证明，一节课探究的目标点不宜太多，较为合适的是1-3个目标点，而且在几个探究目标点中要有一个探究的重点，并在设计上予以突出。这样使学生的探究空间有了保障，从而使探究的有效性也得到保证。

2、情境“小”，能够紧扣主题

在探究学习中创设一种情境，让学生感受数学来源于生活。但是情境必须紧扣探究主题，防止情境中的无关因素喧宾夺主干扰探究活动的进程。例如，“认识周长”教学。

教师为了让学生明白“周长”概念，让学生从图片中剪下熊猫、机器猫……

师：你们是怎么剪下来的呢？

生1：我是沿着熊猫边慢慢剪下来的。

生2：我是沿着机器猫的外围边慢慢剪下来的。

……

经历探究过程获得深层次体验，建构知识并掌握解决问题的方法是探究性学习的重大任务。问题性、实践性、参与性和开放性是探究性学习的本质特征。上述教学片段，教师选择了学生喜欢的熊猫、机器猫等边线简约卡通图，通过剪认识了边线，进而探究周长的概念。这样的小情境有的放矢突出主题，既联系生活又省时，且概念清晰。

3、问题“小”，集中时间攻关

前苏联教育家维果次基提出“最近发展区”的理论。他认为儿童有两种水平：一种是儿童所具有的现实实际水平，叫现实水平；一种是在教师引导下儿童所能达到的水平，叫潜在水平。在儿童的现实水平与潜在水平之间存在一定的空间。这个空间就是最近发展区。教师创设问题情境时，应把问题落在学生的“最近发展区”，也就是有效的“小”问题，这样的问题才具有探究价值。例如，“三角形的内角和”教学片段：

师：三角形按角分可以分成几类？

生：可以分成锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

师：请在纸上画一个有两个直角的三角形？

生（试画之后）：无法画出一个有两个直角的三角形。

师：这说明三角形三个内角的度数之和大有学问？你们猜猜看。

生：这说明三角形三个内角的度数之和必须比180度小……

师：究竟这其中蕴含怎样的秘密呢？请同学们运用手中的纸与尺子、三角板、量角器等工具进行探究。

学生带这强烈的探究欲望，围绕“三角形的三个内角的度数之和究竟是多少度？”问题，展开了“折角拼角”、“撕角拼角”、“量角求和”等探究活动。

由于问题“小”，学生能够集中时间攻关，在有限的课堂教学时间内完成“三角形的内角和等于180度”探究任务。

4、材料“小”，适合学生操作

能否提供适合学生探究的学习小材料，很大程度上决定着探究活动的有效性。例如“分数认识”教学：

1、探究1/2。

教师给每位学生准备了同样的长方形纸。

师：动手折一折，并涂出它的1/2。

生1：我横着对折，涂出其中的1/2是这样的（图略）。

生2：我竖着对折，涂出其中的1/2是这样的（图略）。

生3：我斜着对折，涂出其中的1/2是这样的（图略）。

……

师：这些阴影部分形状不同，为什么都是这张纸的1/2呢？

生1：我把这张纸横着折，并且把它平均分成两份，涂出其中的一份，就是这张纸的1/2。

生2：我虽然竖着折，但是同样把它平均分成两份，涂出其中的一份，当然就是这张纸的1/2。

生3：我斜着折，虽然与前两位同学折的不同，但同样把它平均分成两份，涂出其中的一份，肯定就是这张纸的1/2。

……

师：不管把纸怎么折，也不管折成的每一份是什么形状的，只要是把这张纸平均分成2份，每一份就是它的1/2。

2、探究1/4。

教师给学生准备了长方形、正方形、圆形、菱形……形状不同的纸，让学生自选。

师：动手折一折，并涂出它的1/4。

汇报时出现了长方形、正方形、圆形、菱形等的1/4情况。

师：这些图形的形状不同，阴影部分的形状和大小也都不同，为什么都是原来这个图形的1/4呢？

生1：我把圆形两次对折，就是把这个圆形平均分成4份，每份都是这个圆形的1/4。

生2：我把长方形两次对折，就是把这个长方形平均分成4份，每份都是这个长方形的1/4。

生3：我把菱形两次对折，就是把这个菱形平均分成4份，每份都是这个菱形的1/4。

……

师：不管纸是什么形状，也不管阴影是什么形状的，只要是把这张纸平均分成4份，每一份就是它的1/4。

接着又探究了2/3、2/5等分数。这节课内容多，为什么学生能学得如此扎实？我认为教师提供适合学生探究的学习小材料，帮了很大忙。如果教师提供学习材料是食品，一会儿分蛋糕、一会儿分苹果，搞得学生口水直流，未必能完成教学任务。

思考三：小学数学探究性学习姓“小”应注意哪些

小学数学探究学习姓“小”，并不排斥小学数学探究知识内容的广阔、数学思想方法的广博和学习方式改变的深广。这“三广”决定了小学数学探究学习虽姓“小”，但天地宽。小学数学广阔的知识内容使探究学习有开采不完的矿藏，数学思想方法的广博使探究学习手段多样，学习方式改变的深广，可以充分发挥学生学习过程中的主动性和积极性，从而改变教师的角色定位，真正实现教师是教学的“组织者、引导者”的课改理念。小学数学探究学习姓“小”，是希望教师自己对文本的解读要深，对学生的传授要能够化难为易，深入浅出，大处着眼，小处着手。小学数学探究学习姓“小”，是希望教师要尊重学生，存童心、激童趣、现童真。我们要替学生着想，更多地考虑学生是怎么学地，他们学习有什么困难，我们怎样帮助他们。课堂不仅是教上自我实现和自我完善的舞台，更是学生成长和发展的摇篮。这些决定了小学数学探究学习虽“小”天地宽，从而使课堂凸显出“小、活、实、短、平、快”的特点。

总之，小学阶段的探究性学习，应该着眼“小发现”、“小探究”……并根据小学生的年龄特点和学习特征，从扶到放逐步由定向探究向自由探究发展。这样小学才能由“小”而真正展开探究性学习，由“小”而有利探究性学习，由“小”而使探究性学习更加有效。

注：田奇述《探究性学习有效性的思考》原文，刊载于《新课程探索》2010年第6期。

供稿：田奇述